Édesanyja Goldberger Viktória, édesapja Weisz Samu kiskereskedő. Anyai dédapja Nachod Sámuel orvos, nagyapja Goldberger József, az első magyar–héber társalgási nyelvkönyv szerzője. Elemi iskoláit Pécsett végezte, ugyanitt érettségizett 1897-ben a főreáliskolában. A főreáliskola első éveit nehezen végezte, főleg a hármasszabállyal volt sok baja, matematikából magántanárt kellett mellé fogadni. A felsőbb osztályokban tanára, Maksai Zsigmond hatására kezdett dolgozni a Középiskolai Matematikai Lapokban. Elsősorban a geometriai feladatok megoldásában mutatkozott meg különös tehetsége. A Mathematikai és Physikai Társulat matematikai tanulóversenyén, melyet minden év őszén a nyáron „érettségi vizsgálatot” tett tanulók számára rendeztek, 1897-ben második díjat nyert. Még ez évben a M. kir. József Műegyetem Gépészmérnöki Karán kezdte meg felsőfokú tanulmányait. Itt Kőnig Gyula, Rados Gusztáv és Kürschák József előadásait hallgatta. A következő évben azonban már átiratkozott a Tudományegyetemre, tanárszakra, ahol Beke Manó és Eötvös Loránd előadásai voltak rá legnagyobb hatással.

Az 1899–1900-es tanévben a berlini egyetemen tanult, olyan neves matematikusoktól mint Ferdinand Georg Frobenius, Immanuel Lazarus Fuchs és Hermann Amadeus Schwarz. Itt ismerkedett meg és került közeli kapcsolatba Carathéodoryval és Schmidttel.

Fejér Lipót tanítómesterénél, H. A. Schwarznál jóval egyszerűbb elemi geometriai bizonyítással mutatott rá a talpponti háromszög minimumtulajdonságára. Schwarz tetszését nagyon elnyerte az egyetemi hallgató bizonyítása, mellyel rövidebb úton ért a célhoz. A Fourier-sorokkal kapcsolatos probléma, melynek megoldása később Fejér egyik legismertebb tudományos eredménye lett, Schwarz egy Berlinben tett megjegyzése nyomán került érdeklődése középpontjába.

Berlinből hazatérve még egyetemista korában bebizonyította, hogy egy mindenütt folytonos függvény Fourier-sorának egy rögzített helyen vett részletösszegei helyett, ha azok számtani közepeinek a sorozatát vesszük, akkor ez az új sorozat már konvergens. Az 1900-ban megoldott problémát a Francia Tudományos Akadémia folyóiratában, a Comptes Rendus-ban publikálta. Matematikai szakdolgozatának és doktori értekezésének is ez lett a témája. Az 1902-ben megjelent doktori disszertációja a trigonometrikus sorok elméletének modern megalapozása is egyben.

E területen végzett munkájának továbbfejlesztésén és kiterjesztésén túl Fejér alapvető eredményeket ért el a komplex függvénytanban is. Riesz Frigyessel együtt kidolgozta a konform leképezések alaptételének bizonyítási módszerét.

Fejér tanári szakvizsgát és doktori szigorlatot tett, de pedagógiai vizsgát nem. 1902 nyarán az ógyallai csillagvizsgálóban volt hullócsillag-megfigyelő, az 1902–1903-as tanév téli szemeszterét Göttingenben, a nyárit Párizsban töltötte. Göttingenben Hilbert és Minkowski, Párizsban Picard és Hadamard előadásait hallgatta, de saját eredményeiről is beszámolhatott. Ezután a budapesti Tudományegyetem Matematikai Intézetének repetítora lett, majd 1905-ben a kolozsvári Tudományegyetemre került, ahol hamarosan magántanárrá habilitálták analízis és analitikai mechanika tárgykörökből. Fiatalon, 31 évesen, 1911-ben lett nyilvános rendes tanár, ez akkoriban ritkaságszámba ment. Ebben az évben került a budapesti Tudományegyetem egyik matematikai tanszékére, Eötvös Loránd közbenjárására.

A Magyar Tudományos Akadémia 1908-ban levelező tagjává választotta. Székfoglalóját „Asymptotikus értékek meghatározása” címmel tartotta. 1930-ban lett rendes tag, 1931-ben „A konjugált pontok felhasználása a Lagrange-féle interpolációnál” címmel tartott székfoglalót. 1933-ban előadókörúton vett részt az Amerikai Egyesült Államokban, 15 egyetem meghívásának eleget téve.

Egészségét megviselte az 1939-es súlyos műtéte és a világháborúban átélt szenvedések, lelkét pedig a fasiszta rémuralom, amit később sem tudott teljesen kiheverni. Élete utolsó két évét súlyos betegség szorításában a Kútvölgyi úti kórházban töltötte. Halálakor Szegő Gábor fogalmazta meg tanítványai és az egész matematikus társadalom érzését: „...életünk Fejér nélkül már soha nem lesz az, ami volt”.

Fejér Lipót nagy hatású, igazi iskolateremtő egyéniség volt. Széleskörűen tájékozott, elmélyült tudású közvetlen és segítőkész ember. Tanítványai közé tartozott többek között Pólya György, Riesz Marcell, Szász Ottó, Egerváry Jenő, Szegő Gábor, Csillag Pál, Radó Tibor, Erdős Pál, Kalmár László, Turán Pál... Tanítványai életútját a jó tanár gondoskodásával nyomon követte, sikereikre büszke volt. „A múlt héten két volt tanítványomat nevezték ki professzornak Amerikában; de ez nem minden héten fordul elő” – dicsekedett egyszer hamiskásan. A külföldre került tanítványaival rendszeresen levelezett, e levelekből is sugárzik segítő szeretete. (Szénássy Barna, a magyar matematikatörténet avatott tollú feldolgozója tett közzé ezekből a Fejér-levelekből válogatást.

Fejér Lipótot a művészvilág is jól ismerte. Széles műveltségét, emberi arcvonásait tanítványa, Turán Pál jellemezte meleg szavakkal Fejér Lipótról 1960-ban írt nekrológjában:

Tanítványai vele nemcsak a szemináriumán beszélgettek, egyetemi szobájának ajtaját nem vigyázta altiszt, a beszélgetés időpontját nem rögzítette titkár. A szemináriumi megbeszélés, főleg fiatalabb éveiben, a kávéházban folytatódott; sok jelentős értekezés árulkodna, ha tudna, arról, hogy tartalmuk első formáit a budai Erzsébet kávéház, vagy a pesti Mignon márványasztalain, számolócéduláin vagy szalvettáin nyerte, Fejérrel való beszélgetés alatt vagy után. A tudományos mércét magasra szabta; bár, mint egyetemi tanár, a tanárjelöltek híresen enyhe vizsgáztatója volt, 1911-től nem egészen 40-en szereztek nála matematikai doktorátust mindössze.

Közvetlensége csak egyike volt vonzó jellemvonásainak. Széles körű műveltsége, univerzális kulturális érdeklődése a művészetek iránt, szellemes társalgó képessége, emberi melegsége rendkívül széles baráti kört vonzottak hozzá, igen sokat a művészvilágból. Kolozsvári tartózkodása alatt szoros barátságot tartott fenn többek között Ady Endrével is, kinek verseiből gyakran idézett; Karinthy Frigyes és Hunyadi Sándor oeuvre-jében fel-felvillan alakja. Kedvesen tréfálkozó hangja még akkor is visszatért hozzá olykor-olykor, mikor a könyörtelenül előrehaladó betegség világító szellemének már majd minden lámpáját kioltotta, mintha a sorson felülemelkedő tréfálkozás lelke legmélyén gyökerező tulajdonsága lett volna. Szerette az életet; minden tőle telhető módon próbált segíteni azokon, akik hozzá fordultak.

Fejér igen sok meghívást kapott külföldi katedrákra. Ezeket elhárította magától, még akkor is, mikor a fasizmus veszedelme egyre fenyegetőbb lett. Ragaszkodott hazájához, annak kultúrájához, nem nagy szavakkal, hanem szívvel, hozzánőtt hajszálgyökereivel... Őt mindenkor a haza nagy fiai között fogják számon tartani.